No właśnie nie, jest większe niż 1/2
[ Dodano: Pią 15 Sie, 2008 21:58 ]
Dobra, oto rozwiązanie. Wszystko rozpisałem dość dokładnie, ale proszę się tym nie zrażać, bo tak naprawdę każdy odnajdzie tu coś dla siebie: począwszy od stosowania elementarnych wzorów przez kwiecisty, matematyczny język po kolorowanie zbiorów (szykujcie czerwone kredki
) i zrozumie, że tak naprawdę wszystko jest intuicyjne i do przegryzienia
(przynajmniej tu
).
Mamy równianie postaci x^2 + 2bx + c = 0. Szukamy prawdopodobieństwa wystąpienia pierwiastków rzeczywistych przy założeniu, że b i c należą do przedziału <0,1>.
Wpierw musimy określić kiedy ów równanie ma pierwiastki rzeczywiste. Skoro po lewej stronie mamy wielomian stopnia drugiego, możemy posłużyć się wyróżnikiem delta, który musi przyjąć wartości nieujemne (w p. p. pierwiastki będą liczbami zespolonymi).
Δ= b^2 - 4ac
Wyróżnik powyższego wielomianu wynosi: Δ= 4b^2 - 4c, gdzie b i c należą do przedziału <0,1>.
Skoro Δ >= 0, to 4b^2-4c >= 0. Wynika z tego, że
4(b^2-c) >= 0 | :4
b^2-c >=0
Musimy więc się zastanowić, kiedy powyższy warunek jest spełniony. Widzimy, że:
b^2 >= c
Skoro b i c są wybierane losowo to możemy stwierdzić, że zb. zdarzeń elementarnych Ω
składa się z par uporządkowanych liczb (b,c), gdzie b,c należą do <0,1>; Ω jest więc iloczynem kartezjańskim dwóch przedziałów <0,1> i możemy go przedstawić na układzie współrzędnych. Zbiór zdarzeń sprzyjających to zbiór takich punktów (b,c), które spełniają warunek istnienia pierwiastków rzeczywistych.
Utwórzmy funkcję f(c)=c^2 gdzie f(c), c należy do <0,1> i znajdźmy ten zbiór punktów (c, f(c)), który spełnia warunek istnienia pierwiastków rzeczywistych wielomianu. Po narysowaniu wykresu funkcji f widzimy, że szukanym zbiorem jest ten zacieniowany na czerwono.
Wystarczy teraz podzielić pole czerwone przez pole kwadratu o boku 1 (uprzednio musimy stwierdzić, że nasza przestrzeń jest mierzalna, ale w tym przypadku wydaje mi się to być zbyt buńczuczne).
By obliczyć pole czerwone należy od pola kwadratu odjąć pole pod wykresem funkcji f. Pole pod wykresem funkcji f możemy śmiało policzyć używając całki.
0∫1 (c^2)dc = 1/3 * c^3 + s|1;0 = 1/3 - 0 = 1/3 - s- stała powstała w wyniku całkowania, na szczęście ulega redukcji
Teraz liczymy pole czerwone: 1- 1/3 = 2/3. Dzielimy przez pole Ω ( to właśnie nasz kwadrat
) i otrzymujemy szukane prawdopodobieństwo (notabene geometryczne): 2/3 : 1 = 2/3. Prawda, że proste.
[ Dodano: Pią 15 Sie, 2008 22:02 ]
Aha, jeżeli ktoś ma jakieś uwagi i wątpliwości to pisać, możliwe że mogłem popełnić jakąś gafę bo nie mam do tego odpowiedzi.